Giải bất phương trình
a) \(\left|x+1\right|-\left|x-2\right|\ge3\)
b) \(\dfrac{1}{\left|x\right|-3}-\dfrac{1}{2}< 0\)
[Lớp 8]
Bài 1. Giải phương trình sau đây:
a) \(7x+1=21;\)
b) \(\left(4x-10\right)\left(24+5x\right)=0;\)
c) \(\left|x-2\right|=2x-3;\)
d) \(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x\left(x-2\right)}.\)
Bài 2. Giải bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
\(\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{3x+5}{2}\ge1-\dfrac{4x+5}{6}.\)
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của \(A=-x^2+2x+9.\)
Bài 4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 36km/h. Nhưng khi thực hiện người đó giảm vận tốc 6km/h nên đã đến B chậm hơn dự định là 24 phút.
Tính quãng đường AB.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ HD⊥ AB (D ∈ AB), HE ⊥ AC (E∈ AC). AB=12cm, AC=16cm.
a) Chứng minh: ΔHAC đồng dạng với ΔABC;
b) Chứng minh AH2=AD.AB;
c) Chứng minh AD.AB=AE.AC;
d) Tính \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}.\)
Bài 4 :
24 phút = \(\dfrac{24}{60} = \dfrac{2}{5}\) giờ
Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là x(giờ) ; x > 0
Suy ra quãng đường AB là 36x(km)
Khi vận tốc sau khi giảm là 36 -6 = 30(km/h)
Vì giảm vận tốc nên thời gian đi hết AB là x + \(\dfrac{2}{5}\)(giờ)
Ta có phương trình:
\(36x = 30(x + \dfrac{2}{5})\\ \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy quãng đường AB dài 36.2 = 72(km)
Bài 3 :
\(A = -x^2 + 2x + 9 = -(x^2 -2x - 9) \\= -(x^2 - 2x + 1 + 10) = -(x^2 -2x + 1)+ 10\\=-(x-1)^2 + 10\)
Vì : \((x-1)^2 \geq 0\) ∀x \(\Leftrightarrow -(x-1)^2 \)≤ 0 ∀x \(\Leftrightarrow -(x-1)^2 + 10\) ≤ 10
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 10 khi x = 1
Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) \(\dfrac{2x-1}{x+1}-2< 0\) 2) \(\dfrac{x^2-2x+5}{x-2}-x+1\ge0\)
3) \(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-3\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}\le0\) 4) \(\left|2x-3\right|>5\) 5)\(\left|1-2x\right|\le4\)
6) \(\left|3x+1\right|>x-2\)
\(\dfrac{2x-1}{x+1}-2< 0.\left(x\ne-1\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-1-2x-2}{x+1}< 0.\Leftrightarrow\dfrac{-3}{x+1}< 0.\)
Mà \(-3< 0.\)
\(\Rightarrow x+1>0.\Leftrightarrow x>-1\left(TMĐK\right).\)
\(\dfrac{x^2-2x+5}{x-2}-x+1\ge0.\left(x\ne2\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x+5-x^2+2x+x-2}{x-2}\ge0.\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+3}{x-2}\ge0.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+3\ge0.\\x-2\ge0.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+3\le0.\\x-2\le0.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3.\\x\ge2.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le-3.\\x\le2.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)
Kết hợp ĐKXĐ.
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}\le0.\left(x\ne1;x\ne\dfrac{-3}{2}\right).\)
Đặt \(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}=f\left(x\right).\)
Ta có bảng sau:
\(x\) | \(-\infty\) \(-\dfrac{3}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(2\) \(+\infty\) |
\(1+2x\) | - | - 0 + | + | + |
\(x-2\) | - | - | - | - 0 + |
\(2x+3\) | - 0 + | + | + | + |
\(1-x\) | + | + | + 0 - | - |
\(f\left(x\right)\) | - || + 0 - || + 0 - |
Vậy \(f\left(x\right)\ge0.\Leftrightarrow x\in\left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2}\right)\cup\)(1;2].
Giải các bất phương trình sau:
a)\(\dfrac{\left(2x-5\right)\left(x+2\right)}{-4x+3}>0\) b)\(\dfrac{x-3}{x+1}=\dfrac{x+5}{x-2}\)
a, \(\dfrac{\left(2x-5\right)\left(x+2\right)}{4x-3}< 0\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-5\right)\left(x+2\right)< 0\\4x-3>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-5\right)\left(x+2\right)>0\\4x-3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-2< x< \dfrac{5}{2}\\x>\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\\x< \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}< x< \dfrac{5}{2}\\x< -2\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
S = \(\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{2}\right)\cup\left(-\infty;-2\right)\)
b, Pt
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x+6=x^2+6x+5\\x\in R\backslash\left\{-1;2\right\}\end{matrix}\right.\)
⇔ x = \(\dfrac{1}{11}\)
Vậy S = \(\left\{\dfrac{1}{11}\right\}\)
tính đạo hàm
a) \(y=\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}\)
b) \(y=x+3+\dfrac{4}{x+3}\) giải phương trình y'=0
c) \(y=\dfrac{\left(5x-1\right)\left(x+1\right)}{x+2}\) tính y'(-1)
d) \(y=x-2+\dfrac{9}{x-2}\) giải phương trình y'=0
a:
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{\dfrac{3}{2};1\right\}\)
\(y=\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x^2-4x+4}{2x^2-2x-3x+3}\)
=>\(y=\dfrac{x^2-4x+4}{2x^2-5x+3}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-4x+4\right)'\left(2x^2-5x+3\right)-\left(x^2-4x+4\right)\left(2x^2-5x+3\right)'}{\left(2x^2-5x+3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(2x-4\right)\left(2x^2-5x+3\right)-\left(2x-5\right)\left(x^2-4x+4\right)}{\left(2x^2-5x+3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{4x^3-10x^2+6x-8x^2+20x-12-2x^3+8x^2-8x+5x^2-20x+20}{\left(2x^2-5x+3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{2x^3-5x^2-2x+8}{\left(2x^2-5x+3\right)^2}\)
b:
ĐKXĐ: x<>-3
\(y=\left(x+3\right)+\dfrac{4}{x+3}\)
=>\(y'=\left(x+3+\dfrac{4}{x+3}\right)'=1+\left(\dfrac{4}{x+3}\right)'\)
\(=1+\dfrac{4'\left(x+3\right)-4\left(x+3\right)'}{\left(x+3\right)^2}\)
=>\(y'=1+\dfrac{-4}{\left(x+3\right)^2}=\dfrac{\left(x+3\right)^2-4}{\left(x+3\right)^2}\)
y'=0
=>\(\left(x+3\right)^2-4=0\)
=>\(\left(x+3+2\right)\left(x+3-2\right)=0\)
=>(x+5)(x+1)=0
=>x=-5 hoặc x=-1
c:
ĐKXĐ: x<>-2
\(y=\dfrac{\left(5x-1\right)\left(x+1\right)}{x+2}\)
=>\(y=\dfrac{5x^2+5x-x-1}{x+2}=\dfrac{5x^2+4x-1}{x+2}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(5x^2+4x-1\right)'\left(x+2\right)-\left(5x^2+4x-1\right)\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(5x+4\right)\left(x+2\right)-\left(5x^2+4x-1\right)}{\left(x+2\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{5x^2+10x+4x+8-5x^2-4x+1}{\left(x+2\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{10x+9}{\left(x+2\right)^2}\)
\(y'\left(-1\right)=\dfrac{10\cdot\left(-1\right)+9}{\left(-1+2\right)^2}=\dfrac{-1}{1}=-1\)
d:
ĐKXĐ: x<>2
\(y=x-2+\dfrac{9}{x-2}\)
=>\(y'=\left(x-2+\dfrac{9}{x-2}\right)'=1+\left(\dfrac{9}{x-2}\right)'\)
\(=1+\dfrac{9'\left(x-2\right)-9\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^2}\)
=>\(y'=1+\dfrac{-9}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{\left(x-2\right)^2-9}{\left(x-2\right)^2}\)
y'=0
=>\(\dfrac{\left(x-2\right)^2-9}{\left(x-2\right)^2}=0\)
=>\(\left(x-2\right)^2-9=0\)
=>(x-2-3)(x-2+3)=0
=>(x-5)(x+1)=0
=>x=5 hoặc x=-1
giải bất phương trình sau:
a.\(\left|\dfrac{3-2\left|x\right|}{1-x}\right|\le1\)
b. \(\left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|< x+1\)
Tập nghiệm của bất pt
a) \(\left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|\le x+1\)
b) \(\left|x+2\right|-\left|x-1\right|< x-\dfrac{3}{2}\)
c) \(\left|x+1\right|-\left|x-2\right|\ge3\)
d) \(\left|\dfrac{-5}{x+2}\right|< \left|\dfrac{10}{x-1}\right|\)
e) \(\left|\dfrac{2-3\left|x\right|}{1+x}\right|\le1\)
a, \(\left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|\le x+1\left(1\right)\)
TH1: \(x\le-2\)
\(\Rightarrow x+1\le-1< \left|x+2\right|+\left|-2x+1\right|\)
\(\Rightarrow\) vô nghiệm
TH2: \(-2< x\le\dfrac{1}{2}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x+2-2x+1\le x+1\)
\(\Leftrightarrow x\ge1\)
\(\Rightarrow x\in\left[1;\dfrac{1}{2}\right]\)
TH3: \(x>\dfrac{1}{2}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x+2+2x-1\le x+1\)
\(\Leftrightarrow x\le0\)
\(\Rightarrow\) vô nghiệm
Vậy \(x\in\left[1;\dfrac{1}{2}\right]\)
b, \(\left|x+2\right|-\left|x-1\right|< x-\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)
TH1: \(x\le-2\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow-x-2+x-1< x-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\) vô nghiệm
TH2: \(-2< x\le1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x+2+x-1< x-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x< -\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow\) vô nghiệm
TH3: \(x>1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x+2-x+1< x-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x>\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x\in\left(\dfrac{9}{2};+\infty\right)\)
Vậy \(x\in\left(\dfrac{9}{2};+\infty\right)\)
c, Tương tự a,b
d, ĐK: \(x\ne-2;x\ne1\)
\(\left|\dfrac{-5}{x+2}\right|< \left|\dfrac{10}{x-1}\right|\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left|x+2\right|}< \dfrac{2}{\left|x-1\right|}\)
\(\Leftrightarrow2\left|x+2\right|>\left|x-1\right|\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+2\right)^2>\left(x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+4x+4\right)>x^2-2x+1\)
\(\Leftrightarrow3x^2+18x+15>0\)
\(\Leftrightarrow...\)
e, ĐK: \(x\ne-1\)
\(\left|\dfrac{2-3\left|x\right|}{1+x}\right|\le1\)
\(\Leftrightarrow\left|2-3\left|x\right|\right|\le\left|x+1\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(2-3\left|x\right|\right)^2\le\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4+9x^2-12\left|x\right|\le x^2+2x+1\)
\(\Leftrightarrow8x^2-12\left|x\right|-2x+3\le0\)
Đến đây dễ rồi, xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối rồi đối chiếu điêì kiện.
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn trục số :
a)\(\left(2x-3\right)\left(x+4\right)>2\left(x^2+1\right)\)
b)\(\dfrac{3x-1}{x-2}-\dfrac{5x+1}{3}>4\)
a: =>2x^2+8x-3x-12<2x^2+2
=>5x<14
=>x<14/5
b: =>\(\dfrac{9x-3-\left(5x+1\right)\left(x-2\right)}{3\left(x-2\right)}-4>0\)
=>\(\dfrac{9x-3-5x^2+10x-x+2-12\left(x-2\right)}{3\left(x-2\right)}>0\)
=>\(\dfrac{-5x^2+18x-1-12x+24}{3\left(x-2\right)}>0\)
=>\(\dfrac{-5x^2+6x+23}{x-2}>0\)
TH1: x-2>0 và -5x^2+6x+23>0
=>x>2 và \(\dfrac{3-2\sqrt{31}}{5}< x< \dfrac{3+2\sqrt{31}}{5}\)
=>\(2< x< \dfrac{3+2\sqrt{31}}{5}\)
TH2: x-2<0 và -5x^2+6x+23<0
=>x<2 và \(\left[{}\begin{matrix}x< \dfrac{3-2\sqrt{31}}{5}\\x>\dfrac{3+2\sqrt{31}}{5}\end{matrix}\right.\)
=>\(x< \dfrac{3-2\sqrt{31}}{5}\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left|x+1\right|\)<x là:
A. \(S=\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) B. \(S=\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) C. \(S=\varnothing\) D. \(S=\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\)
Giải bất phương trình:
\(a,\log_{0,1},1\left(x^2+x-2\right)>\log_{0,1}\left(x+3\right)\)
\(b,\log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2\log_3\left(2-x\right)\ge0\)
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)